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              2021高考備考:高中數學誘導公式全集

              發布時間:2021-07-22 作者:admin

               

              常用的誘導公式有以下幾組:

                公式一:
                設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:
                sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
                cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
                tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
                cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)

                公式二:
                設α為任意角,π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系:
                sin(π+α)=-sinα
                cos(π+α)=-cosα
                tan(π+α)=tanα
                cot(π+α)=cotα

                公式三:
                任意角α與 -α的三角函數值之間的關系:
                sin(-α)=-sinα
                cos(-α)=cosα
                tan(-α)=-tanα
                cot(-α)=-cotα

                公式四:
                利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系:
                sin(π-α)=sinα
                cos(π-α)=-cosα
                tan(π-α)=-tanα
                cot(π-α)=-cotα

                公式五:
                利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系:
                sin(2π-α)=-sinα
                cos(2π-α)=cosα
                tan(2π-α)=-tanα
                cot(2π-α)=-cotα

                公式六:
                π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系:
                sin(π/2+α)=cosα
                cos(π/2+α)=-sinα
                tan(π/2+α)=-cotα
                cot(π/2+α)=-tanα
                sin(π/2-α)=cosα
                cos(π/2-α)=sinα
                tan(π/2-α)=cotα
                cot(π/2-α)=tanα
                sin(3π/2+α)=-cosα
                cos(3π/2+α)=sinα
                tan(3π/2+α)=-cotα
                cot(3π/2+α)=-tanα
                sin(3π/2-α)=-cosα
                cos(3π/2-α)=-sinα
                tan(3π/2-α)=cotα
                cot(3π/2-α)=tanα

                (以上k∈Z)
                注意:在做題時,將a看成銳角來做會比較好做。

                誘導公式記憶口訣

                ※規律總結※

                上面這些誘導公式可以概括為:

                對于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函數值,

               ?、佼攌是偶數時,得到α的同名函數值,即函數名不改變;

               ?、诋攌是奇數時,得到α相應的余函數值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

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                然后在前面加上把α看成銳角時原函數值的符號。

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                例如:

                sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數,所以取sinα。

                當α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。

                所以sin(2π-α)=-sinα

                上述的記憶口訣是:

                奇變偶不變,符號看象限。

                公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α

                所在象限的原三角函數值的符號可記憶

                水平誘導名不變;符號看象限。

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                各種三角函數在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割)”.

                這十二字口訣的意思就是說:

                **象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”;

                第二象限內只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

                第三象限內切函數是“+”,弦函數是“-”;

                第四象限內只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

                上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內切,四余弦

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                還有一種按照函數類型分象限定正負:

                函數類型 **象限 第二象限 第三象限 第四象限

                正弦 ...........+............+............—............—........

                余弦 ...........+............—............—............+........

                正切 ...........+............—............+............—........

                余切 ...........+............—............+............—........

                同角三角函數基本關系

                同角三角函數的基本關系式

                倒數關系:

                tanα·cotα=1

                sinα·cscα=1

                cosα·secα=1

                商的關系:

                sinα/cosα=tanα=secα/cscα

                cosα/sinα=cotα=cscα/secα

                平方關系:

                sin^2(α)+cos^2(α)=1

                1+tan^2(α)=sec^2(α)

                1+cot^2(α)=csc^2(α)

                同角三角函數關系六角形記憶法

                六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)

                構造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

               ?。?)倒數關系:對角線上兩個函數互為倒數;

               ?。?)商數關系:六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。

               ?。ㄖ饕莾蓷l虛線兩端的三角函數值的乘積)。由此,可得商數關系式。

               ?。?)平方關系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。

                兩角和差公式

                兩角和與差的三角函數公式

                sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

                sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

                cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

                cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

                tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

                tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

                二倍角公式

                二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)

                sin2α=2sinαcosα

                cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

                tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

                半角公式

                半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)

                sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

                cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

                tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

                另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

                萬能公式

                sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

                cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

                tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

                萬能公式推導

                附推導:

                sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,

               ?。ㄒ驗閏os^2(α)+sin^2(α)=1)

                再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

                然后用α/2代替α即可。

                同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

                三倍角公式

                三倍角的正弦、余弦和正切公式

                sin3α=3sinα-4sin^3(α)

                cos3α=4cos^3(α)-3cosα

                tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

                三倍角公式推導

                附推導:

                tan3α=sin3α/cos3α

               ?。?sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

               ?。?2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

                上下同除以cos^3(α),得:

                tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

                sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

               ?。?sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

               ?。?sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

               ?。?sinα-4sin^3(α)

                cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

               ?。?2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

               ?。?cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

               ?。?cos^3(α)-3cosα

                即

                sin3α=3sinα-4sin^3(α)

                cos3α=4cos^3(α)-3cosα

                三倍角公式聯想記憶

                ★記憶方法:諧音、聯想

                正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負數),所以要“掙錢”(音似“正弦”))

                余弦三倍角:4元3角 減 3元(減完之后還有“余”)

                ☆☆注意函數名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

                ★另外的記憶方法:

                正弦三倍角: 山無司令 (諧音為 三無四立) 三指的是"3倍"sinα, 無指的是減號, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方

                余弦三倍角: 司令無山 與上同理

                和差化積公式

                三角函數的和差化積公式

                sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

                sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

                cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

                cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

                積化和差公式

                三角函數的積化和差公式

                sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

                cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

                cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

                sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

                和差化積公式推導

                附推導:

                首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

                我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

                所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

                同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

                同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

                所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

                所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

                同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

                這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:

                sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

                cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

                cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

                sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

                有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式。

                我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

                把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

                sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

                sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

                cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

                cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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